Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система: 4|y − 3| = 12 − 3|x|; y² − a² = 3 (2y − 3) − x². имеет ровно четыре решения.
Подсказки — как подойти к решению
- Второе уравнение — окружность, первое — фигура из четырёх отрезков; найди центр и убедись, что центры совпадают.
- Ровно четыре решения — окружность пересекает каждую из четырёх сторон, граничные значения параметра дают касания.
Решение
Преобразуем данную систему
3|x| + 4|y − 3| = 12; x² + y² − 6y + 9 = a². ⇔ система: 3|x| + 4|y − 3| = 12; x² + (y − 3)² = a².
Сделав замену переменной t = y − 3, получаем систему
3|x| + 4|t| = 12, (1); x² + t² = a². (2).
Заметим, что количество решений полученной системы совпадает с количеством решений исходной системы. Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oxt.
График первого уравнения — ромб, диагонали которого, равные 8 и 6, лежат соответственно на осях Ox и Ot, а графиком второго уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом r = |a| (см. рис.).
Графики уравнений системы имеют ровно четыре общих точки, и, следовательно, имеет ровно четыре решения, тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо ее радиус удовлетворяет условию
3 < r < 4.
В первом случае радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника с катетами, равными 3 и 4, откуда
r = |a| = (3 · 4)/(5) = 12/5, a = 12/5.
Во втором случае получаем 3 меньше |a| меньше 4, откуда
− 4 < a < − 3 или 3 < a < 4.
Ответ: a принадлежит 12/5 ∪ (−4, − 3) ∪ (3,4).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не выделить полные квадраты и не увидеть общий центр симметрии фигур.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №18 по профильной математике · Разбор темы №18 с нуля