Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии

Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.

Условие

Найти все значения a, при каждом из которых функция

f (x) = x² − 2	x − a²	− 8x

имеет более двух точек экстремума.

Функция содержит x − a² , поэтому график имеет точку излома: именно она может давать дополнительную точку экстремума.
Раскрой модуль в двух случаях, найди критические точки каждой ветви и потребуй, чтобы всего их было больше двух.

1. Функция f (x) имеет вид

а) при x ≥ a²:f (x) = x² − 10x + 2a², поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x = 5;

б) при x ≤ a²:f (x) = x² − 6x − 2a², поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x = 3.

2. Все возможные виды графиков функции показаны на рисунках:

Графики обеих квадратичных функции проходят через точку (a², f (a²)).

3. Функция y = f (x) имеет более двух точек экстремума, а именно три, в единственном случае (рис. 1):

3 < a² < 5 ⇔ √(3) меньше |a| меньше √(5).

Ответ: − √(5) < a < − √(3); √(3) < a меньше √(5).

Критерий (до 4 баллов)	Балл
Обоснованно получен верный ответ.	4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0
Максимальное количество баллов	4

Частая ошибка: не рассматривать саму точку излома x = a² как возможную точку экстремума.

В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №18 по профильной математике · Разбор темы №18 с нуля