Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых
система: y² + xy − 4x − 9y + 20 = 0; y = ax + 1; x > 2.
имеет единственное решение.
Подсказки — как подойти к решению
- Из первого уравнения вырази y через x и подставь во второе — получится уравнение с параметром и ограничением x > 2.
- Единственное решение ищи по графику (гипербола и прямая) или через дискриминант, помня про ограничение на x.
Решение
Преобразуем исходную систему
(y − 4) x + y² − 9y + 20 = 0; y = ax + 1; x > 2. ⇔ система: (y − 4) x + (y − 4) (y − 5) = 0; y = ax + 1; x > 2. ⇔ система: (y − 4) (x + y − 5) = 0; y = ax + 1; x > 2. система: (y − 4) x + y² − 9y + 20 = 0; y = ax + 1; x > 2. ⇔
⇔ система: (y − 4) x + (y − 4) (y − 5) = 0; y = ax + 1; x > 2. ⇔ система: (y − 4) (x + y − 5) = 0; y = ax + 1; x > 2. система: (y − 4) x + y² − 9y + 20 = 0; y = ax + 1; x > 2. ⇔
⇔ система: (y − 4) x + (y − 4) (y − 5) = 0; y = ax + 1; x > 2. ⇔
⇔ система: (y − 4) (x + y − 5) = 0; y = ax + 1; x > 2.
Уравнение (y − 4) (x + y − 5) = 0 задает пару пересекающихся прямых y = 4 и y = 5 − x.
Система
система: x > 2; (y − 4) (y + x − 5) = 0.
задает части этих прямых, расположенные правее прямой x = 2, то есть лучи BD и CE (без точек B и C), см. рис.
Уравнение y = ax + 1 задает прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через точку A (0, 1). Следует найти все значения a, при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и CE.
а) Прямая AB задается уравнением y = 1,5x + 1. Поэтому при a ≥ 1,5 прямая m не пересечет ни луч BD, ни луч CE.
б) Прямая AC задается уравнением y = x + 1. Поэтому при 1 ≤ a < 1,5 прямая m пересечет луч BD, но не пересечет луч CE.
в) При 0 < a < 1 прямая m пресечет и луч BD, и луч CE.
г) Наконец, при − 1 < a ≤ 0 прямая m пересечет только луч CE, а при a ≤ − 1 она не пересечет ни луч BD, ни луч CE.
Ответ: a принадлежит (−1,0 ] ∪ [ 1,1,5).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: проверить только дискриминант и не отбросить корни, не удовлетворяющие условию x > 2.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №18 по профильной математике · Разбор темы №18 с нуля