Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система: (|x| − 5)² + (y − 4)² = 4; (x − 2)² + y² = a². имеет единственное решение.
Подсказки — как подойти к решению
- Раскрой модуль в первом уравнении: получится две окружности радиуса 2 с центрами, симметричными относительно оси ординат.
- Второе уравнение — окружность с центром в начале координат. Единственное решение означает касание: расстояние между центрами равно сумме или разности радиусов.
Решение
Если x ≥ 0, то уравнение (|x| − 5)² + (y − 4)² = 4 задает окружность ₁ с центром в точке C₁ (5,4) радиуса 2, а если x < 0, то оно задаёт окружность ₂ с центром в точке C₂ (−5, 4) того же радиуса (см. рис.).
При положительных значениях параметра a уравнение (x − 2)² + y² = a² задаст окружность с центром в точке C (2, 0) радиуса a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a, при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей ₁ и ₂.
Из точки C проведём луч CC₁ и обозначим A₁ и B₁ точки его пересечения с окружностью ₁, где A₁ лежит между C и C₁.
Так как CC₁ = √((5 − 2)² + 4²) = 5, то CA₁ = 5 − 2 = 3,CB₁ = 5 + 2 = 7.
При a < CA₁ или a > CB₁ окружности и ₁ не пересекаются. При CA₁ < a < CB₁ окружности и ₁ имеют две общие точки. При a = CA₁ или a = CB₁ окружности и ₁ касаются.
Из точки C проведём луч CC₂ и обозначим A₂ и B₂ точки его пересечения с окружностью ₂, где A₂ лежит между точками C и C₂. Так как CC₂ = √((−5 − 2)² + 4²) = √(65), то CA₂ = √(65) − 2,CB₂ = √(65) + 2.
При a < CA₂ или a > CB₂ окружности и ₂ не пересекаются. При CA₂ < a < CB₂ окружности и ₂ имеют две общие точки. При a = CA₂ или a = CB₂ окружности и ₂ касаются.
Исходная имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей ₁ и ₂ и не пересекается с другой. Так как CA₁ < CA₂ < CB₁ < CB₂, то условию задачи удовлетворяют только числа a = 3 и a = √(65) + 2.
Ответ: 3, √(65) + 2.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| C помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены так же одно-два неверных значения; – или решение недостаточно обоснованно. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра. | 2 |
| Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: рассмотреть только одну из двух окружностей, заданных модулем.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №18 по профильной математике · Разбор темы №18 с нуля