Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии

Запишем уравнение в виде (x − 4)² = 2|x − a| и рассмотрим графики функций y = (x − 4)² и y = 2|x − a|. График первой функции — парабола, график второй функции — угол с вершиной в точке а. Уравнение будет иметь три различных решения, если вершина параболы совпадает с вершиной угла (рис. 1), или если одна из сторон угла касается параболы (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

В первом случае a = 4, и уравнение имеет три корня: 2, 4, 6.

Рассмотрим второй случай. Пусть правая сторона угла касается параболы. Уравнение (x − 4)² = 2x − 2a, должно иметь единственное решение. Приведём уравнение к стандартному виду: x² − 10x + 16 + 2a = 0. Из равенства нулю дискриминанта получаем 25 − (16 + 2a) = 0, откуда a = 4,5. Если же параболы касается левая сторона угла, получаем уравнение

(x − 4)² = 2a − 2x, x² − 6x + 16 − 2a.

Оно имеет единственное решение, только если a = 3,5.

Ответ: 3,5; 4; 4,5.

Приведем решение, основанное на идее Елизаветы Зелёненькой (Москва).

Построим график заданного уравнения в системе координат xOa. Для этого раскроем |

(x − 4)² = 2|x − a| ⇔

⇔ система: x − a ≥ 0,x² − 8x + 16 = 2 (x − a), система: x − a < 0,x² − 8x + 16 = − 2 (x − a). ⇔ система: x ≥ a,a = − x²/2 + 5x − 8, система: x < a,a = x²/2 − 3x + 8.

Изобразим множество точек, удовлетворяющих полученным соотношениям, в плоскости xOa. Прямая, задаваемая уравнением a = x, разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Назовем эту прямую l.

Графиком функции a (x) = − x²/2 + 5x − 8 является парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке с координатами (5; 4,5). Графиком функции a (x) = x²/2 − 3 x + 8 является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке с координатами (3; 3,5). В силу справедливости неравенств

− x²/2 + 5x − 8 ≤ x ⇔ − x² + 10x − 16 ≤ 2x ⇔ (x − 4)² ≥ 0,

x²/2 − 3x + 8 ≥ x ⇔ x² − 6x + 16 ≥ 2x ⇔ (x − 4)² ≥ 0,

первая из парабол лежит целиком ниже прямой l, а вторая лежит целиком выше этой прямой. Заметим также, что в силу сказанного точка с координатами (4; 4) является единственной общей точкой этих парабол и прямой l (см. рис.).

Определим теперь, при каких значениях параметра горизонтальные прямые будут иметь с построенным графиком исходного уравнения ровно 3 общие точки. Это прямые, задаваемые уравнениями а = 3,5 и а = 4,5, проходящие через вершины построенных парабол, и прямая задаваемая уравнением а = 4, проходящая через точку их касания.

Ответ: а = 3,5, а = 4, а = 4,5.

Приведем решение Святослава Горбатова.

Рассмотрим функцию f (x) = x² − 8x − 2 |x − a| + 16. Раскроем |

f (x) = x² − 10x + 2a + 16, x ≥ a x² − 6x − 2a + 16, x < a

Заметим, что при любом раскрытии модуля абсциссы вершин парабол не зависят от параметра a. При x ≥ a задана парабола с вершиной (5;2a − 9), при x < a — парабола с вершиной (3; − 2a + 7).

Уравнение f (x) = 0 может иметь 3 различных корня, только если 3 < a < 5 (в противном случае — не более 2 корней). Тогда либо f (a) = 0, либо ровно одна из вершин парабол находится на оси Ox, то есть или 2a − 9 = 0, или 7 − 2a = 0.

Получаем:

3 < a < 5 [ f (a) = 0, 2a − 9 = 0, 7 − 2a = 0. ⇔ [ a = 4, a = 4,5, a = 3,5.

Отдельно заметим, что вершины обеих парабол не могут одновременно располагаться на оси Ox, так как

система: 2a − 9 = 0, − 2a + 7 = 0.

не имеет решений.

Ответ: 3,5; 4; 4,5.