Задание №5 ЕГЭ Математика (база) с ответом и решением

Пусть x — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда 1 − x — вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:

0,4x + 0,2 (1 − x) = 0,35 ⇔ 0, 2x = 0,15 ⇔ x = 0,75.

Ответ: 0,75.

Это решение можно записать более подробно.

Пусть событие A состоит в том, что яйцо имеет высшую категорию, события B₁ и B₂ состоят в том, что яйцо произведено в первом и втором хозяйствах соответственно. Тогда события A|B₁ и A|B₂ — события, состоящие в том, что яйцо высшей категории произведено в первом и втором хозяйстве соответственно. По формуле полной вероятности, вероятность того, что будет куплено яйцо высшей категории, равна:

P (AB₁) + P (AB₂) = P (A|B₁) · P (B₁) + P (A|B₂) · P (B₂) =

= 0,4 · P (B₁) + 0,2 · (1 − P (B₁)) = 0,2P (B₁) + 0,2. P (AB₁) + P (AB₂) =

= P (A|B₁) · P (B₁) + P (A|B₂) · P (B₂) =

= 0,4 · P (B₁) + 0,2 · (1 − P (B₁)) = 0,2P (B₁) + 0,2.

По условию эта вероятность равна 0,35, поэтому

P (B₁) = (0,35 − 0,2):0, 2 = 0,75.

Приведем другое решение.

Пусть в первом хозяйстве агрофирма закупает x яиц, в том числе 0,4x яиц высшей категории, а во втором хозяйстве — y яиц, в том числе 0,2y яиц высшей категории. Таким образом, всего агрофирма закупает x + y яиц, в том числе 0,4x + 0,2y яиц высшей категории. По условию высшую категорию имеют 35% яиц, тогда:

(0,4x + 0,2y)/(x + y) = 0,35 ⇔ 0,4x + 0, 2y = 0,35 (x + y) ⇔ 0, 05x = 0,15y ⇔ x = 3y. (0,4x + 0,2y)/(x + y) = 0,35 ⇔ 0,4x + 0, 2y = 0,35 (x + y) ⇔

⇔ 0, 05x = 0,15y ⇔ x = 3y.

Следовательно, у первого хозяйства закупают в три раза больше яиц, чем у второго. Поэтому вероятность того, что купленное яйцо окажется из первого хозяйства, равна

(3y)/(3y + y) = 3/4 = 0,75.