Задание №10 ЕГЭ Математика (база) с ответом и решением
Ответ: 2
Условие
На рисунке изображен колодец с «журавлем». Короткое плечо имеет длину 3 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?
Подсказки — как подойти к решению
- Вертикальные отрезки, на которые смещаются концы «журавля», и его плечи дают два подобных прямоугольных треугольника: отношение смещений равно отношению плеч.
- Составь отношение длин плеч и умножь на него подъём короткого конца — так узнаешь, насколько опустился длинный конец.
Решение
Введем обозначения, приведенные на рисунке. Здесь отрезок AC — плечи «журавля» до опускания, отрезок BD — после, отрезок AH — высота, на которую поднялся конец короткого плеча, отрезок CK — высота, на которую опустился конец длинного. В треугольниках AOB и COD углы AOB и COD равны как вертикальные, следовательно, равны и углы при основаниях:
∠ ABO = ∠ OAB = (180 ° − ∠ AOB)/(2) = (180 ° − ∠ COD)/(2) = ∠ OCD = ∠ CDO.
Следовательно, треугольники AOB и COD подобны по двум углам, то есть
OC/AO = OD/BO = CD/AB = 4/3.
При пересечении прямых AB и CD секущей BD углы, обозначенные на рисунке цифрами 1 и 2, являются накрест лежащими и равными, следовательно, прямые AB и CD параллельны. Стороны углов 3 и 4 параллельны друг другу, следовательно, эти углы равны.
Треугольники AHB и CDK — прямоугольные, их острые углы равны, следовательно, они подобны, откуда
CD/AB = CK/AH ⇔ CK = AH · CD/AB ⇔ CK = 1,5 · 4/3 ⇔ CK = 2.
Ответ: 2.
Примечание.
Можно привести несколько иное доказательство подобия треугольников AHB и CDK. На приведенной ниже картинке есть два маленьких треугольника AHM и DKL, они прямоугольные и ∠ MAH = ∠ KDL как накрест лежащие, следовательно, эти треугольники подобны.
Затем, можно заметить, что у треугольников AHM и AHB соответственные углы равны друг другу, потому что их стороны параллельны, следовательно, треугольники подобны. Аналогично для треугольников CDK и CKL. Из трех пар подобий этих треугольников следует, что треугольники AHB и CKD подобны.
Ответ: 2
Типичные ошибки
- Пропорцию составили наоборот: подъём короткого конца умножили на отношение короткого плеча к длинному. Длинный конец опускается сильнее, множитель должен быть больше единицы.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №10 по базовой математике · Разбор темы №10 с нуля