Задание №19 ЕГЭ Математика (база) с ответом и решением
Ответ: 1412
Условие
Приведите пример четырёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.
Подсказки — как подойти к решению
- Кратность 4 определяй по двузначному числу из двух последних цифр. Для равенства суммы и произведения перебирай наборы цифр: как только цифра больше двух, произведение растёт заметно быстрее суммы.
- Выбери две последние цифры, дающие деление на 4, и подбери к ним две первые так, чтобы сумма всех четырёх цифр совпала с их произведением. Начинай с наборов, где много единиц: они не увеличивают произведение.
- Проверь, что среди цифр нет нуля (иначе произведение равно нулю, а сумма нет), что число четырёхзначное и что две его последние цифры делятся на 4. Перестановка первых цифр даёт ещё одно верное число.
Решение
Пусть число имеет вид. Следовательно, + b + c + d = a · b · c · d. Число делится на 4, поэтому 10c + d делится на 4. Можно заметить, что если среди цифр есть хотя бы три единицы, то равенство невозможно, так как сумма будет больше произведения. Если единица только одна, то произведение будет слишком большое. Таким образом, среди цифр есть ровно две единицы. Рассмотрим двузначные числа, которые делятся на 4, две их последние цифры образуют число, делящееся на 4. Нельзя брать числа с нулём, так как в этом случае произведение будет равно нулю.
Число 12: тогда одна из оставшихся цифр 1, а другая — 4.
Число 16: тогда одна из оставшихся цифр 1, а никакая другая не подойдёт.
Число 24: значит, оставшиеся цифры — единицы.
Остальные числа будут давать слишком большое произведение или нечётную сумму.
Таким образом, искомые числа суть 1412, 4112, 1124.
Ответ: 1124, или 1412, или 4112.
Типичные ошибки
- Сумма и произведение цифр равны, но число не кратно 4: кратность четырём проверяют по двум последним цифрам, а 14 на 4 не делится.
- Условие на цифры выполнено и число делится на 4, но оно трёхзначное, а в задаче требуется четырёхзначное.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №19 по базовой математике · Разбор темы №19 с нуля