Задание №19 ЕГЭ Математика (база) с ответом и решением
Ответ: 453
Условие
Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Подсказки — как подойти к решению
- Равные остатки при делении на 5 и на 6 означают одинаковый остаток при делении на 30, причём ненулевой и меньший пяти. Значит, число имеет вид 30n плюс r, где r равен 1, 2, 3 или 4.
- Условие про первую цифру переведи в уравнение: первая цифра равна полусумме двух других. Перебирай числа вида 30n + r по возрастанию, начиная с первого, которое больше четырёхсот, и проверяй это равенство.
- Проверь остатки по отдельности: при делении на 5 остаток задаёт последняя цифра, и он должен совпасть с остатком при делении на 6 и быть не равным нулю. Нулевые остатки это главная ловушка.
Решение
Число имеет одинаковые остатки при делении на 5 и на 6. Следовательно, число имеет тот же остаток при делении на 30, причём этот остаток не равен нулю и меньше пяти. Таким образом, искомое число может иметь вид:
30n + 1, 30n + 2, 30n + 3, 30n + 4.
При n = 1, 2,.., 13 ни одно из чисел не > 400.
При n = 14: 421, 422, 423, 424. Первая слева цифра не является средним арифметическим двух других цифр.
При n = 15: 451, 452, 453, 454. Число 453 удовлетворяет всем условиям задачи.
Также подходят числа 573 и 693.
Ответ: 453, или 573, или 693.
Типичные ошибки
- Остатки при делении на 5 и на 6 равны 1 и число больше 400, но первая цифра не является средним арифметическим двух других.
- Первая цифра равна среднему арифметическому двух других, но остатки при делении на 5 и на 6 нулевые, а нужны ненулевые.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №19 по базовой математике · Разбор темы №19 с нуля