Задание №19 ЕГЭ Математика (база) с ответом и решением
Ответ: 125
Условие
Найдите трёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Подсказки — как подойти к решению
- Кратность 25 определяется двумя последними цифрами: они могут быть только 00, 25, 50 или 75. Вариант с двумя нулями сразу не подходит, ведь все цифры числа обязаны быть различными.
- Перебирай трёхзначные числа с разрешёнными двумя последними цифрами и разными цифрами, начиная с наименьшей первой цифры, и для каждого считай сумму квадратов его цифр.
- Каждый раз проверяй сумму квадратов по двум признакам: она должна делиться на 3, но не делиться на 9. Если сумма кратна девяти, число не подходит, и это самая частая ошибка в этой задаче.
Решение
Чтобы число делилось на 25, оно должно заканчиваться на 00, 25, 50 или 75. Наше число на 00 заканчиваться не может, поскольку все его цифры должны быть различны. Выпишем все трёхзначные числа, заканчивающиеся на 25, 50 или 75, все цифры которых различны, найдём сумму квадратов их цифр, проверим, делится ли она на 3 и на 9.
125: 1² + 2² + 5² = 30, сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.
150: 1² + 5² + 0² = 26, сумма квадратов цифр не делится на 3.
175: 1² + 7² + 5² = 75, сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.
250: 2² + 5² + 0² = 29, сумма квадратов цифр не делится на 3.
275: 2² + 7² + 5² = 78, сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.
325: 3² + 2² + 5² = 38, сумма квадратов цифр не делится на 3.
350: 3² + 5² + 0² = 34, сумма квадратов цифр не делится на 3.
375: 3² + 7² + 5² = 83, сумма квадратов цифр не делится на 3.
425: 4² + 2² + 5² = 45, сумма квадратов цифр делится на 3 и на 9.
450: 4² + 5² + 0² = 41, сумма квадратов цифр не делится на 3.
475: 4² + 7² + 5² = 90, сумма квадратов цифр делится на 3 и на 9.
625: 6² + 2² + 5² = 65, сумма квадратов цифр не делится на 3.
650: 6² + 5² + 0² = 61, сумма квадратов цифр не делится на 3.
675: 6² + 7² + 5² = 110, сумма квадратов цифр не делится на 3.
725: 7² + 2² + 5² = 78, сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.
750: 7² + 5² + 0² = 74, сумма квадратов цифр не делится на 3.
825: 8² + 2² + 5² = 93, сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.
850: 8² + 5² + 0² = 89, сумма квадратов цифр не делится на 3.
875: 8² + 7² + 5² = 138, сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.
925: 9² + 2² + 5² = 110, сумма квадратов цифр не делится на 3.
950: 9² + 5² + 0² = 106, сумма квадратов цифр не делится на 3.
975: 9² + 7² + 5² = 155, сумма квадратов цифр не делится на 3.
Таким образом, условию удовлетворяет любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.
Ответ: любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.
Типичные ошибки
- Число кратно 25 и цифры различны, но сумма квадратов равна 45 и делится на 9, а по условию она делиться на 9 не должна.
- Кратность 25 и разные цифры есть, но сумма квадратов цифр на 3 не делится: проверять надо все условия сразу.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №19 по базовой математике · Разбор темы №19 с нуля