Задание №19 ЕГЭ Математика (база) с ответом и решением
Ответ: 1362
Условие
Найдите натуральное число, большее 1340, но меньшее 1640, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Подсказки — как подойти к решению
- Число больше 1340 и меньше 1640, поэтому первая цифра у него единица. Все цифры различны и не равны нулю, значит, ноль в записи не участвует.
- Число делится на каждую свою цифру, поэтому проверяй делимость и на чётную цифру, и на 5, и на 9. Цифру 5 можно ставить только в конец записи, иначе число не разделится на 5.
Решение
Пусть abcd - искомое число (a — число тысяч, b — число сотен, с — число десятков, d — число единиц). По условию abcd < 1640. Кроме того, a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ 0. Проанализируем теперь то, что искомое число делится на каждую свою цифру.
Если искомое число содержит цифру 5, то эта цифра должна стоять на 4-м месте. Это просто понять из того, что признак делимости на 5 — это 0 или 5 на конце числа. Если цифра 5 будет стоять где-нибудь не на последнем месте, то тогда, согласно признаку делимости на 5, еще одна 5 будет стоять в конце числа, а это противоречит условию задачи.
Первая цифра — единица. Это очевидно из того, что искомое число > 1340 и < 1640.
На втором месте могут стоять цифры 3, 4, 6.
Если на втором месте стоит цифра 3, то сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма первых двух цифр: 1 + 3 = 4. Тогда сумма всех 4 цифр, которая делится на 3, может быть максимум 21. Рассмотрим варианты:
4 + x + y = 21 (x = 8, y = 9: 1389 — не подходит, так как не делится на 8, 1398 — не делится на 9).
4 + x + y = 18 (x + y = 14: x = 5, y = 9: 1395 — число делится на 3, на 9 и на 5; x = 6, y = 8: 1368 — число делится на 3, на 6, на 8, x = 7, y = 7 — не подходит).
4 + x + y = 15 (x + y = 11: x = 2, y = 9 — не подходит, x = 3, y = 8 — не подходит, x = 4, y = 7 — не подходит, x = 5, y = 6 — не подходит).
4 + x + y = 12 (x + y = 8: x = 7, y = 1 — не подходит, x = 2, y = 6: 1362 — число делится на каждую из своих цифр, x = 3, y = 5 — не подходит, x = 4, y = 4 — не подходит).
4 + x + y = 9 (x + y = 5: x = 4, y = 1 — не подходит, x = 3, y = 2 — не подходит).
4 + x + y = 6 (x + y = 2: x = 1, y = 1 — не подходит).
4 + x + y = 3 (x + y = 1 — невозможно в связи с тем, что ни одна из цифр нулю не равняется.
Если на втором месте цифра 4, то последние две цифры должны делиться на 4. Среди таких чисел (без повторяющихся цифр): 28 (не подходит), 32 (не подходит), 36 (не подходит), 68 (не подходит), 72 (не подходит), 76 (не подходит), 92 (не подходит), 96 (не подходит).
Если на втором месте стоит цифра 6, то сумма цифр числа должна делиться на 3 и, кроме того, число должно оканчиваться на четную цифру. Сумма первых двух цифр 1 + 6 = 7. Тогда сумма всех 4 цифр, которая делится на 3, может быть максимум 24. Рассмотрим варианты:
7 + x + y = 24 (x + y = 17, x = 8, y = 9 — не подходят, так как число должно быть < 1640).
7 + x + y = 21 (x + y = 14: x = 5, y = 9 — не подходит, x = 6, y = 8 — не подходит, x = 7, y = 7 — не подходит).
7 + x + y = 18 (x + y = 11: x = 2, y = 9 — не подходит, x = 3, y = 8 — не подходит, x = 4, y = 7 — не подходит, x = 5, y = 6 — не подходит).
7 + x + y = 15 (x + y = 8: x = 7, y = 1 — не подходит, x = 2, y = 6 — не подходит, x = 3, y = 5 — не подходит, x = 4, y = 4 — не подходит).
7 + x + y = 12 (x + y = 5: x = 4, y = 1 — не подходит, x = 3, y = 2 — число 1632 делится на каждую из своих цифр).
7 + x + y = 9 (x + y = 2: x = 1, y = 1 — не подходит).
Ответ: 1395, 1368, 1362, 1632.
Типичные ошибки
- Число лежит в нужном промежутке и его цифры различны и не равны нулю, но оно не делится на каждую свою цифру: на 4 деление идёт с остатком. Проверяй делимость на каждую цифру записи.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №19 по базовой математике · Разбор темы №19 с нуля