Задание №20 ЕГЭ Математика (база) с ответом и решением
Ответ: 25
Условие
Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.
Подсказки — как подойти к решению
- Третий велосипедист догоняет и второго, и первого. К моменту его выезда предыдущие уже проехали какое-то расстояние, и именно его он и должен покрыть за счёт разницы скоростей.
- Обозначь скорость третьего за x, тогда скорости сближения со вторым и с первым — это разности скоростей. Время сближения находят делением начального расстояния на разность скоростей, а разница между двумя временами дана в условии.
Решение
Пусть v км/ч — скорость третьего велосипедиста, а t ч — время, которое понадобилось ему, чтобы догнать второго велосипедиста. Таким образом,
v t = 10 · (t + 1) ⇔ v = (10 · (t + 1))/(t).
А через 2 часа 20 минут после этого третий велосипедист догнал первого. Таким образом,
v · (t + 7/3) = 15 · (t + 7/3 + 2) ⇔ (10 · (t + 1) · (3t + 7))/(3t) = 15/3 · (3t + 13) ⇔ v · (t + 7/3) = 15 · (t + 7/3 + 2) ⇔
⇔ (10 · (t + 1) · (3t + 7))/(3t) = 15/3 · (3t + 13) ⇔
⇔ 6t² + 20t + 14 = 9t² + 39t ⇔ 3t² + 19t − 14 = 0 ⇔
⇔ t = (−19 + √(19² + 4 · 3 · 14))/(6) = 2/3 или t = (−19 − √(19² + 4 · 3 · 14))/(6) = − 7. при t > 0 ⇔ t = 2/3.
Таким образом, v = (10 · 5/3)/(2/3) = 25.
Ответ: 25.
Приведем другое решение.
Примем за х км/ч скорость третьего велосипедиста. Тогда скорость сближения второго и третьего велосипедистов равна x − 10 км/ч, а скорость сближения первого и третьего велосипедистов равна x − 15 км/ч. Второй велосипедист выехал на час раньше третьего, поэтому изначально их разделяло 10 км. Чтобы преодолеть это расстояние, третьему велосипедисту понадобилось (10)/(x − 10) часа. Первый велосипедист выехал на два часа раньше третьего, поэтому изначально их разделяло 30 км. Следовательно, третий велосипедист догнал первого за (30)/(x − 15) часа. Третий велосипедист догнал первого через 7/3 часа после того, как он догнал второго, поэтому можно составить уравнение:
(10)/(x − 10) + 7/3 = (30)/(x − 15).
При условии x > 15, избавляясь от знаменателей, получаем:
30 (x − 15) + 7 (x − 10) (x − 15) = 90 (x − 10) ⇔ 7x² − 235x + 1500 = 0.
Найдем дискриминант:
235² − 4 · 7 · 1500 = (47 · 5)² − 4 · 7 · (25 · 60) = 25 · (47² − 4 · 7 · 60) =
= 25 · (2209 − 1680) = 25 · 529 = (5 · 23)² = 115². 235² − 4 · 7 · 1500 = (47 · 5)² − 4 · 7 · (25 · 60) =
= 25 · (47² − 4 · 7 · 60) = 25 · (2209 − 1680) =
= 25 · 529 = (5 · 23)² = 115².
Следовательно, x = (235 115)/(14).
Меньший корень x = 60/7 < 15, а потому не подходит. Больший корень, равный 25, подходит. Скорость третьего велосипедиста равна 25 км/ч.
Ответ: 25
Типичные ошибки
- Названа скорость второго велосипедиста из условия, а ищут скорость третьего: он догоняет обоих, поэтому его скорость больше обеих данных. Сравни найденное число со скоростями из условия.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №20 по базовой математике · Разбор темы №20 с нуля