Задание №13 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
а) Решите уравнение (cos 2x + sin x)/(√(sin (x − π/4))) = 0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 11 π/2; 7 π ].
Подсказки — как подойти к решению
- Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом определён и не обращается в ноль.
- Приведи числитель к одной функции: cos 2x распиши через sin x — получится квадратное уравнение относительно синуса.
- Отбор корней на отрезке удобно делать по тригонометрической окружности, отмечая подходящие серии.
Решение
а) Найдем область определения уравнения:
sin (x − π/4) > 0 ⇔ 2 π k < x − π/4 < π + 2 π k ⇔ π/4 + 2 π k < x < 5 π/4 + 2 π k, k принадлежит Z. sin (x − π/4) > 0 ⇔ 2 π k < x − π/4 < π + 2 π k ⇔
⇔ π/4 + 2 π k < x < 5 π/4 + 2 π k, k принадлежит Z.
Найдем корни числителя, используем формулу cos 2 α = 1 − 2 sin² α:
cos 2x + sin x = 0 ⇔ 2 sin² x − sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = 1, sin x = − 0,5,
откуда x = π/2 + 2 π k,x = − π/6 + 2 π k,x = 7 π/6 + 2 π k,k принадлежит Z.
С учетом области определения уравнения получаем:
x = π/2 + 2 π k,x = 7 π/6 + 2 π k,k принадлежит Z.
б) Заметим, что π/2 + 2 π · 2 < 11 π/2 < π/2 + 2 π · 3 < 7 π < π/2 + 2 π · 4, значит, из первой серии корней указанному отрезку принадлежит только π/2 + 2 π · 3 = 13 π/2.
Из неравенств 7 π/6 + 2 π · 2 < 11 π/2 < 7 π < 7 π/6 + 2 π · 3 следует, что ни один из корней второй серии не принадлежит указанному отрезку.
Ответ: а) π/2 + 2 π k, 7 π/6 + 2 π k:k принадлежит Z; б) 13 π/2.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: решить только числитель и забыть про знаменатель — корни, при которых подкоренное выражение обращается в ноль, в ответ не входят.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №13 по профильной математике · Разбор темы №13 с нуля