Задание №13 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
| а) Решите уравнение | cos x + sin x | = √(2) sin 2x. |
|---|
б) Найдите решения уравнения, принадлежащие отрезку [3; 5].
Подсказки — как подойти к решению
- Модуль раскрывается двумя случаями, в каждом получится уравнение с синусом двойного угла и суммой синуса с косинусом.
- Обозначь t = cos x + sin x и вспомни, что квадрат этой суммы равен единице плюс sin 2x.
Решение
а) Возведем обе части уравнения в квадрат:
| cos x + sin x | = √(2) sin 2x ⇔ система: (cos x + sin x)² = 2 sin² 2x, sin 2x ≥ 0. ⇔ система: 1 + sin 2x = 2 sin² 2x, sin 2x ≥ 0. ⇔ | cos x + sin x | = √(2) sin 2x ⇔ система: (cos x + sin x)² = 2 sin² 2x, sin 2x ≥ 0. ⇔ | |
| ⇔ система: 1 + sin 2x = 2 sin² 2x, sin 2x ≥ 0. ⇔ | cos x + sin x | = √(2) sin 2x ⇔ |
⇔ система: (cos x + sin x)² = 2 sin² 2x, sin 2x ≥ 0. ⇔
⇔ система: 1 + sin 2x = 2 sin² 2x, sin 2x ≥ 0. ⇔ ⇔ система: sin 2x = 1 или sin 2x = − 1/2, sin 2x ≥ 0. ⇔ sin 2x = 1 ⇔ 2x = π/2 + 2 π k ⇔ x = числитель: знаменатель: p i4 + π k, k принадлежит Z.
б) Если k ≤ 0, то x ≤ π/4 < 1, поэтому при таких k решений на отрезке [3; 5] нет.
Если k = 1, то x = 5 π/4. Заметим, что 3 = 12/4 < 5 π/4 < 20/4 = 5, поэтому корень 5 π/4 лежит на отрезке [3; 5].
Если k ≥ 2, то x ≥ 9 π/4 > 6, поэтому при таких k решений на отрезке [3; 5] нет.
Ответ: а) π/4 + π k: k принадлежит Z; б) 5 π/4.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: при раскрытии модуля не проверить знак правой части — часть найденных серий корней не подходит.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №13 по профильной математике · Разбор темы №13 с нуля