Задание №13 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
а) Решите уравнение (26 cos² x − 23 cos x + 5)/(13 sin x − 12) = 0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ − 5 π/2; − π ].
Подсказки — как подойти к решению
- Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не обращается в ноль.
- Квадратное уравнение относительно косинуса даст две серии корней — проверь, какие из них допустимы по условию на знаменатель.
Решение
а) Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю и не теряет смысла. Поэтому данное уравнение ⇔ системе
26 cos² x − 23 cos x + 5 = 0, sin x ≠ 12/13.
Решив уравнение системы как квадратное относительно cos x, находим cos x = 1/2 либо cos x = 5/13. Если cos x = 1/2, то из основного тригонометрического тождества sin x = (√(3))/(2), то есть sin x ≠ 12/13. Следовательно, x = π/3 + 2 π k, k принадлежит Z. Если cos x = 5/13, то sin x = 12/13. В этом случае с учетом условия sin x ≠ 12/13 системы получаем, что из двух точек единичной окружности, соответствующих решениям уравнения cos x = 5/13, нужно оставить только ту, для которой sin x = − 12/13. Это точка четвертой четверти, и решение уравнения имеет вид x = − arccos 5/13 + 2 π k, k принадлежит Z.
б) На отрезке [ − 5 π/2; − π ] корни отберём с помощью единичной окружности. Получаем: − 2 π − arccos 5/13; − 7 π/3; − 5 π/3.
Ответ: a) π/3 + 2 π k, − π/3 + 2 π k, − arccos 5/13 + 2 π k: k принадлежит Z; б) − 2 π − arccos 5/13; − 7 π/3; − 5 π/3.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: включить в ответ корень, при котором знаменатель обращается в ноль.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №13 по профильной математике · Разбор темы №13 с нуля