Задание №13 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии

Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.

Условие

а) Решите уравнение (2 cos² x − 5 cos x + 2) · log₁ 1 (−sin x) = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ π; 5 π/2 ].

Произведение равно нулю; логарифм определён только при положительном аргументе, то есть при отрицательном синусе.
Реши квадратное уравнение относительно косинуса и оставь те корни, которые удовлетворяют условию на синус.

а) Уравнение имеет смысл при sin x < 0.

Если log₁ 1 (−sin x) = 0, то sin x = − 1, откуда x = − π/2 + 2 π k,k принадлежит Z.

Если log₁ 1 (−sin x) ≠ 0, то 2 cos² x − 5 cos x + 2 = 0, откуда cos x = 2 или cos x = 1/2.

Уравнение cos x = 2 не имеет решений.

Уравнение cos x = 1/2 имеет корни x = π/3 + 2 π k,k принадлежит Z. Учитывая, что sin x < 0, получаем: x = − π/3 + 2 π k,k принадлежит Z.

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку [ π; 5 π/2 ]. Решим неравенства:

π ≤ − π/3 + 2 π k ≤ 5 π/2 ⇔ 2/3 ≤ k ≤ 17/12, откуда k = 1.

π ≤ − π/2 + 2 π k ≤ 5 π/2 ⇔ 3/4 ≤ k ≤ 3/2, откуда k = 1.

Соответствующие найденным значениям параметров корни: 3 π/2 и 5 π/3.

Ответ: а) − π/2 + 2 π k, − π/3 + 2 π k: k принадлежит Z; б) 3 π/2, 5 π/3.

Критерий (до 2 баллов)	Балл
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Частая ошибка: не учесть область определения логарифма — при положительном синусе решение теряет смысл.

В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №13 по профильной математике · Разбор темы №13 с нуля