Задание №13 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии

Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.

Условие

Дано уравнение cos (3 π/2 + 2x) = cos x.

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [ 5 π/2;4 π ].

Упрости левую часть по формулам приведения — получится простое уравнение относительно косинуса.
Дальше реши уравнение вида «косинус одного угла равен косинусу другого» и отбери корни на отрезке.

Используем формулу приведения и sin двойного угла:

sin 2x = cos x ⇔ 2 sin x cos x = cos x ⇔ cos x (2 sin x − 1) = 0 ⇔

⇔ cos x = 0, или sin x = 1/2, ⇔ x = π/2 + π k, или x = π/6 + 2 π k, или x = 5 π/6 + 2 π k,k принадлежит Z.

б) С помощью единичной окружности отберём корни на отрезке [ 5 π/2;4 π ]. Находим: 5 π/2, 17 π/6, 7 π/2.

Ответ: а) π/2 + π k, π/6 + 2 π k, 5 π/6 + 2 π k: k принадлежит Z; б) 5 π/2; 17 π/6; 7 π/2.

Примечание.

Уравнение может быть также решено при помощи следующей теоремы:

cos x = cos y ⇔ x = y + 2 π k, k принадлежит Z.

Критерий (до 2 баллов)	Балл
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Частая ошибка: потерять одну из серий корней при переходе от равенства косинусов к углам.

В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №13 по профильной математике · Разбор темы №13 с нуля