Задание №13 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
а) Решите уравнение 6 cos² x − 7 cos x − 5 = 0.
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [ − π;2 π ].
Подсказки — как подойти к решению
- Это квадратное уравнение относительно косинуса: сделай замену и реши его.
- Один из корней окажется по модулю больше единицы — он не подходит. Для второго выпиши серии и отбери нужные.
Решение
а) Сделаем замену cos x = y, получим квадратное уравнение 6y² − 7y − 5 = 0, корнями которого являются числа y = − 1/2 и y = 5/3. Уравнение cos x = 5/3 не имеет решений, а из уравнения cos x = − 1/2 находим корни x = 2 π/3 + 2 π k или x = − 2 π/3 + 2 π k,k принадлежит Z.
б) Найдем корни, принадлежащие отрезку [ − π;2 π ]. Решим неравенства:
− π ≤ − 2 π/3 + 2 π k ≤ 2 π ⇔ − 1/6 ≤ k ≤ 4/3, откуда k = 0 или k = 1.
− π ≤ 2 π/3 + 2 π k ≤ 2 π ⇔ − 5/6 ≤ k ≤ 2/3 ⇔ k = 0.
Соответствующие найденным значениям параметров корни: − 2 π/3, 2 π/3 и 4 π/3.
Ответ: а) 2 π/3 + 2 π k, − 2 π/3 + 2 π k: k принадлежит Z; б) − 2 π/3; 2 π/3; 4 π/3.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: включить в ответ значение, где косинус по модулю больше единицы.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №13 по профильной математике · Разбор темы №13 с нуля