Задание №13 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
а) Решите уравнение sin x + (cos x/2 − sin x/2) (cos x/2 + sin x/2) = 0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ π, 5 π/2 ].
Подсказки — как подойти к решению
- Второй множитель — разность квадратов: сверни его в косинус.
- Получится уравнение «синус плюс косинус равно нулю» — реши его делением на косинус или через вспомогательный угол.
Решение
а) Используя формулу cos² α − sin² α = cos 2 α, заменим выражение в скобках на cos x, получаем однородное тригонометрическое уравнение первой степени:
sin x + (cos² x/2 − sin² x/2) = 0 ⇔ sin x + cos x = 0.
Если cos x = 0, то из уравнения следует sin x = 0, что невозможно в силу основного тригонометрического тождества. Значит, на множестве корней уравнения cos x ≠ 0. Разделим обе части уравнения на cos x:
tg x + 1 = 0 ⇔ tg x = − 1 ⇔ x = − π/4 + π k, k принадлежит Z.
б) Составим двойное неравенство: π − π/4 + π k ≤ 5 π/2, откуда 5/4 ≤ k ≤ 2 3/4. Следовательно, k = 2. Поэтому на данном отрезке получаем единственный корень − π/4 + 2 π = 7 π/4.
Ответ: а) − π/4 + π k: k принадлежит Z; б) 7 π/4.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: неверно свернуть произведение скобок и потерять серию корней.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №13 по профильной математике · Разбор темы №13 с нуля