Задание №13 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
а) Решите уравнение sin 2x − 2 √(3) cos² x − 4 sin x + 4 √(3) cos x = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ π; 5 π/2 ].
Подсказки — как подойти к решению
- Раскрой синус двойного угла и сгруппируй слагаемые с синусом и косинусом.
- Дальше вынеси общий множитель и перейди к произведению, равному нулю.
Решение
а) Разложим левую часть на множители:
2 sin x cos x − 2 √(3) cos² x − 4 sin x + 4 √(3) cos x = 0 ⇔
⇔ sin x (cos x − 2) − √(3) cos x (cos x − 2) = 0 ⇔
⇔ (cos x − 2) (sin x − √(3) cos x) = 0.
Уравнение cos x − 2 = 0 не имеет корней. Имеем sin x − √(3) cos x = 0.
Если cos x = 0, то sin x = 0, это невозможно. Это однородное уравнение первой степени, разделим обе его части на cos x. Получаем:
tg x − √(3) = 0 ⇔ x = π/3 + π k, k принадлежит Z.
б) Отрезку [ π; 5 π/2 ] принадлежат корни 4 π/3 и 7 π/3 (см. рис.).
Ответ: а) π/3 + π k:k принадлежит Z; б) 4 π/3; 7 π/3.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: деление на общий множитель вместо вынесения — так теряются корни.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №13 по профильной математике · Разбор темы №13 с нуля