Задание №13 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Дано уравнение 2 cos² x + 2 sin 2x = 3.
а) Решите данное уравнение.
б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку [ − 3 π/2; − π/2 ].
Подсказки — как подойти к решению
- Понизь степень косинуса и раскрой синус двойного угла — уравнение станет однородным.
- Раздели на квадрат косинуса, предварительно проверив, что он не равен нулю, и реши квадратное уравнение относительно тангенса.
Решение
а) Сведем уравнение к квадратному относительно tg:
2 cos² x + 2 sin 2x = 3 ⇔ 2 cos² x + 4 sin x cos x = 3 (sin² x + cos² x) ⇔
⇔ 3 sin² x − 4 sin x cos x + cos² x = 0 ⇔ 3 tg² x − 4 tg x + 1 = 0 ⇔
⇔ tg x = 1, или tg x = 1/3. ⇔ x = π/4 + π k, или x = arctg 1/3 + π k,k принадлежит Z.
б) С помощью числовой окружности находим, что из найденных решений промежутку принадлежат числа − 3 π/4, arctg 1/3 − π.
Ответ: а) π/4 + π k, arctg 1/3 + π k: k принадлежит Z; б) − 3 π/4; arctg 1/3 − π.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: деление на квадрат косинуса без проверки случая, когда косинус равен нулю, — теряется серия корней.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №13 по профильной математике · Разбор темы №13 с нуля