Задание №13 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии

Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.

Условие

а) Решите уравнение (1/81) ^ (cos x) = 9 ^ (2 sin 2x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ − 3 π, − 2 π ].

Приведи обе части к основанию три: одна восемьдесят первая — это три в минус четвёртой степени, а девять — три во второй.
Приравняй показатели: получится уравнение с косинусом и синусом двойного угла.

а) Перейдем к одному основанию:

81 ^ (−cos x) = 81 ^ (sin 2x) ⇔ − cos x = 2 sin x cos x ⇔ cos x · (2 sin x + 1) = 0 ⇔ 81 ^ (−cos x) = 81 ^ (sin 2x) ⇔ − cos x = 2 sin x cos x ⇔

⇔ cos x · (2 sin x + 1) = 0 ⇔

⇔ cos x = 0, или sin x = − 1/2. ⇔ x = π/2 + π k.k принадлежит Z, или x = − π/6 + 2 π k,k принадлежит Z, или x = − 5 π/6 + 2 π k,k принадлежит Z.

б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку [ − 3 π, − 2 π ]. Получим числа: − 17 π/6, − 5 π/2, − 13 π/6.

Ответ: а) π/2 + π k, − π/6 + 2 π k, − 5 π/6 + 2 π k:k принадлежит Z; б) − 17 π/6; − 5 π/2; − 13 π/6.

Критерий (до 2 баллов)	Балл
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Частая ошибка: перепутать знаки при переходе к основанию три и получить неверное показательное уравнение.

В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №13 по профильной математике · Разбор темы №13 с нуля