Задание №13 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
а) Решите уравнение 4 sin³ x = 3 cos (x − π/2).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 7 π/2, 9 π/2 ].
Подсказки — как подойти к решению
- Вырази правую часть через синус по формуле приведения.
- Получится кубическое уравнение относительно синуса — разложи его на множители, не сокращая на синус.
Решение
а) Запишем уравнение в виде 4 sin³ x − 3 sin x = 0.
Значит, или sin x = 0, откуда x = π k,k принадлежит Z, или sin² x = 3/4 ⇔ sin x = (√(3))/(2), sin x = − (√(3))/(2), откуда x = π/3 + π k или x = 2 π/3 + π k,k принадлежит Z.
б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку [ 7 π/2, 9 π/2 ]. Получим числа: 11 π/3,4 π, 13 π/3.
Ответ: а) π k, π/3 + π k, 2 π/3 + π k: k принадлежит Z; б) 11 π/3; 4 π; 13 π/3.
Примечание.
Внимательный читатель, конечно, узнал формулу sin тройного угла:
3 sin x − 4 sin³ x = 0 ⇔ sin 3x = 0 ⇔ x = π k/3,k принадлежит Z.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: сократить на синус, потеряв целую серию корней.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №13 по профильной математике · Разбор темы №13 с нуля