Задание №13 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии

Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.

Условие

а) Решите уравнение log₂ (cos x + sin 2x + 8) = 3.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 3 π/2,3 π ].

По определению логарифма выражение под ним равно восьми.
Перенеси всё в одну часть: получится уравнение «синус двойного угла плюс косинус равно нулю».
Не забудь проверить, что выражение под логарифмом положительно для найденных корней.

а) Из данного уравнения получаем:

cos x + sin 2x + 8 = 8 ⇔ cos x + 2 cos x sin x = 0 ⇔ cos x (2 sin x + 1) = 0 ⇔ cos x + sin 2x + 8 = 8 ⇔ cos x + 2 cos x sin x = 0 ⇔

⇔ cos x (2 sin x + 1) = 0 ⇔

⇔ cos x = 0, или sin x = − 1/2. ⇔ x = π/2 + π k.k принадлежит Z, или x = − π/6 + 2 π k,k принадлежит Z, или x = − 5 π/6 + 2 π k,k принадлежит Z.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [ 3 π/2,3 π ]. Получим числа: 3 π/2, 11 π/6, 5 π/2.

Ответ: а) π/2 + π k, − π/6 + 2 π k, − 5 π/6 + 2 π k:k принадлежит Z; б) 3 π/2; 11 π/6; 5 π/2.

Критерий (до 2 баллов)	Балл
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №13 по профильной математике · Разбор темы №13 с нуля