Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы длины ребер AD = 12, AB = 5, AA1 = 8.
а) Докажите, что плоскость BDA₁ делит объем параллелепипеда в отношении 1: 5.
б) Найдите объем пирамиды MB1C1D, если M — точка на ребре AA1, причем AM = 5.
Подсказки — как подойти к решению
- Объём параллелепипеда — произведение трёх рёбер, объём пирамиды — треть произведения площади основания на высоту.
- Пирамида с вершиной в вершине параллелепипеда занимает шестую часть его объёма — отсюда отношение в пункте а).
- В пункте б) найди объём пирамиды с основанием из трёх точек верхней грани и вершиной на ребре.
Решение
а) Одна из полученных частей это треугольная пирамида A₁ABD. Её высота равна высоте параллелепипеда, а площадь её основания равна половине площади основания параллелепипеда. Тогда в силу формулы объема пирамиды получаем, что объем пирамиды A₁ABD относится к объему параллелепипеда как 1: 6. А это эквивалентно тому, что требуется доказать.
б) Заметим, что
V_MB₁C₁D = 1/3 S_B₁C₁D · h_M.
Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании, равна половине произведения катетов: S_B₁C₁D = 6 √(89).
Основание пирамиды лежит в плоскости AB₁C₁D, поэтому высотой пирамиды будет являться перпендикуляр, опущенный из точки M на эту плоскость. Опустим перпендикуляр ME на прямую AB₁. Поскольку ME AB₁ и ME AD (в силу того, что (AD) (AA₁B₁B)), отрезок ME является высотой пирамиды: ME = h_M.
Треугольник AME подобен треугольнику ABB₁, значит,
ME = (AM · AB)/(AB₁) = (25)/(√(89)),
V_MB₁C₁D = 1/3 · 6 √(89) · (25)/(√(89)) = 50.
Ответ: 50.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: в пункте б) брать высоту пирамиды от вершины параллелепипеда, а не от точки M на ребре.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля