Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра AB = 7 √(3), SC = 25. M — середина ребра SA.
а) Докажите, что проекции точек S и M на плоскость основания делят высоту AN треугольника ABC на три равные части.
б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой MN.
Подсказки — как подойти к решению
- Проведи сечение через данные точки и посмотри, как связаны проекции точки S и середины ребра с высотой основания.
- Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией: найди проекцию MN на плоскость основания.
Решение
а) Проекция точки S на плоскость основания — это точка O, центр основания. Центр правильного треугольника является точкой пересечения его медиан, поэтому AO: ON = 2: 1. Проекцией прямой AS на плоскость основания является прямая AN. Поэтому проекция точки M — точка M₁ — лежит на отрезке AN. M — середина AS, поэтому M₁ — середина отрезка AO. Таким образом, проекции точек S и M на плоскость основания делят высоту AN треугольника ABC на три равные части.
б) AN — медиана правильного треугольника ABC, значит, AN = √ 3/2 AB = 21/2. Проекцией прямой MN является прямая AN, следовательно, угол MNM₁ — искомый. MM₁ SO, где O — центр основания, значит, MM₁ — средняя линия треугольника ASO, поэтому AM₁ = 1/2 AO. Тогда AM₁ = 1/3 AN = 7/2 и M₁N = 2/3 AN = 7. Из прямоугольного треугольника AMM₁ находим:
MM₁ = √(AM² − AM₁²) = √(625/4 − 49/4) = 12.
Из прямоугольного треугольника MM₁N находим:
tg ∠ MNM₁ = MM₁/M₁N = 12/7.
Значит, искомый угол равен arctg 12/7.
Ответ: arctg 12/7.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: искать угол между прямой и плоскостью как угол между прямой и высотой основания.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля