Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В кубе ABCDA1B1C1D1
а) Докажите, что плоскость BA1C1 и прямая B₁D перпендикулярны.
б) Найдите cos угла между плоскостями BA1C1 и BA1D1.
Подсказки — как подойти к решению
- Перпендикулярность прямой и плоскости доказывается через перпендикулярность двум пересекающимся прямым этой плоскости.
- Угол между плоскостями удобно искать координатным методом — через косинус угла между нормалями.
Решение
а) Заметим, что проекция прямой B₁D на плоскость ABB₁ это прямая AB₁. Проекция прямой B₁D на плоскость BB₁C это прямая B₁C. B₁C BC₁ и AB₁ A₁B как диагонали квадрата. Таким образом, по теореме о трех перпендикулярах B₁D BC₁ и B₁D ₁B. Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, B₁D A₁BC₁.
б) Пусть точка O — центр куба, а M — середина A₁B. A₁D₁ A₁B, а MO — средняя линия треугольника BA₁D₁, поэтому MO A₁B. Треугольник BA₁C₁ — равносторонний, C₁M A₁B, следовательно, искомый угол равен углу OMC₁.
Примем длины ребер куба за a. Найдем стороны треугольника OMC₁. Из треугольника BA₁D₁, находим OM = a/2, из равностороннего треугольника BA₁C₁ находим
MC₁ = (√(3))/(2) A₁C₁ = (√(3))/(2) · a √(2) = a √(3/2).
Поскольку O — середина диагонали AC₁, то OC₁ = a (√(3))/(2). Теперь применим к треугольнику OMC₁ теорему cos:
cos ∠ OMC₁ = (OM² + MC₁² − OC₁²)/(2 · OM · MC₁) = 1/4 a² + 3/2a² − 3/4a² 2 · 1/2a · a √(3/) 2 = a/² a² √(3/) 2 = √(2/) 3. cos ∠ OMC₁ = (OM² + MC₁² − OC₁²)/(2 · OM · MC₁) =
= 1/4 a² + 3/2a² − 3/4a² 2 · 1/2a · a √(3/) 2 = a/² a² √(3/) 2 = √(2/) 3.
Ответ: √(2/3).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: забыть взять модуль косинуса — угол между плоскостями острый.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля