Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В правильном тетраэдре ABCD проведена высота DH. K — середина отрезка CH. BM — медиана боковой грани BCD.
а) Докажите, что угол между DH и BM равен углу BMK.
б) Найдите угол между DH и BM.
Подсказки — как подойти к решению
- Найди прямую, параллельную высоте DH и связанную с точкой M, — равенство углов следует из параллельности.
- Дальше вычисли угол в треугольнике BMK, найдя его стороны по формулам правильного тетраэдра.
Решение
а) Пусть MK — средняя линия треугольника CDH. Тогда MK || DH, значит, MK (ABC) и, следовательно, MK BK. Кроме того, ∠ (DH,BM) = ∠ (KM,BM) = ∠ BMK.
б) Пусть длина ребра тетраэдра равна a, тогда имеем:
CH = 2/3 · (√(3) 2 · AB = (√(3))/(3) a = (a)/(√ 3)/(17)) онец дроби,
DH = √(CD² − CH²) = √(a² − a²/3) = (a √(2))/(√(3)) = a (√(6))/(3),KM = 1/2 DH = (a √(6))/(6) = (a)/(√(6)). DH = √(CD² − CH²) = √(a² − a²/3) = (a √(2))/(√(3)) =
= a (√(6))/(3),KM = 1/2 DH = (a √(6))/(6) = (a)/(√(6)).
BM = (BC √(3))/(2) = (a √(3))/(2), cos ∠ BMK = KM/BM = (a · 2)/(√(6) · a √(3)) = (√(2))/(3).
Ответ: arccos (√(2))/(3).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: считать углы равными без доказательства параллельности прямых.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля