Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В правильном тетраэдре ABCD М — середина ребра AD.
а) Докажите, что проекция точки M на плоскость BCD делит высоту DN треугольника BCD в отношении 1: 2, считая от вершины D.
б) Найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD.
Подсказки — как подойти к решению
- Проекция точки M лежит на медиане основания: используй подобие треугольников, чтобы найти её положение.
- Угол между прямой и плоскостью ищи в прямоугольном треугольнике, опустив перпендикуляр из M на плоскость.
Решение
а) Пусть ребро тетраэдра — a, DN — высота грани BCD, O — центр треугольника BCD, MK — средняя линия треугольника ADO. Тогда AO BCD,MK AO, значит, MK (BCD).
Точка O делит медиану DN в отношении 2:1, считая от вершины D, поэтому ON = OK = DK = 1/3 DN.
б) ∠ MBK — искомый. Из пункта а) KN = 2/3 DN = (a √(3))/(3). Далее имеем:
BK = √(BN² + KN²) = √(a²/4 + a²/3) = (a √(7))/(2 √(3)), BM =
= (a √(3))/(2), cos ∠ MBK = BK/BM = (a √(7) · 2)/(2 √(3) · a √(3)) = (√(7))/(3).
Ответ: arccos (√(7))/(3).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: считать углом между прямой и плоскостью угол между прямой и ребром основания.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля