Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1.
а) Докажите, что прямые SB и SD перпендикулярны.
б) Найдите sin угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BD.
Подсказки — как подойти к решению
- В правильной пирамиде с ребром 1 диагональ основания известна: перпендикулярность проверяется по теореме, обратной теореме Пифагора.
- В пункте б) удобны координаты: плоскость, перпендикулярная прямой, имеет нормалью саму эту прямую.
Решение
а) Основание пирамиды — квадрат, поэтому его диагональ
BD = √(BC² + CD²) = √(2).
Тогда в треугольнике BSD получаем, что BD² = BS² + SD². Отсюда, по обратной теореме Пифагора, угол BSD прямой. Что и требовалось доказать.
б) Пусть точка O — центр основания, а M — середина ребра AS. Поскольку AC BD и SO BD, то плоскость SAC перпендикулярна прямой BD. Это значит, что плоскость SAC и есть плоскость, проходящая через точку A перпендикулярно BD.
Проведем отрезки MD и MO. Так как треугольник SAD правильный, MD AS. Так как треугольник ASO — равнобедренный, OM AS. Следовательно, искомый угол равен углу OMD. Найдем стороны треугольника OMD:
OD = 1/(√(2)), OM = (OA)/(√(2)) = 1/2, MD = (√(3))/(2) · AD = (√(3))/(2).
По теореме cos:
cos ∠ OMD = (OM² + MD² − OD²)/(2 · OM · DM) = 1/4 + 3/4 − 1/22 · 1/2 · к/орень из: (3) 2 = 1/2: (√(3))/(2) = 1/(√(3)).
Отсюда sin ∠ OMD = √(1 − 1/3) = √(2/3).
Ответ: √(2/3).
Примечание.
Решение существенно упрощается, если заметить, что треугольник MOD — прямоугольный: sin ∠ OMD = OD/MD.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: неверно выбрать плоскость, перпендикулярную прямой: её нормалью должна быть сама прямая.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля