Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра равны 1.
а) Докажите, что прямая BF₁ перпендикулярна прямой F₁E₁.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой E1F1.
Подсказки — как подойти к решению
- В правильной шестиугольной призме удобно рассматривать проекции прямых на плоскость основания.
- Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра; найди её как высоту подходящего треугольника.
Решение
а) Проведем отрезки BF и BF₁,BF BC, поскольку ∠ CBA = 120 °, а ∠ ABF = 30 °. BF — проекция BF₁ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах BF₁ E₁F₁.
б) Таким образом, искомое расстояние — длина отрезка BF₁.
Рассмотрим треугольник BFF₁. Он прямоугольный, BF = √(3,) FF₁ = 1.
По теореме Пифагора находим: BF₁ = √(3 + 1) = 2.
Ответ: 2.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: путать расстояние от точки до прямой с расстоянием до плоскости.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля