Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Точка M — середина бокового ребра пирамиды AP.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки B и M и перпендикулярная плоскости BDP, делит высоту пирамиды пополам.
б) Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP.
Подсказки — как подойти к решению
- Построй сечение через точки B и M, перпендикулярное плоскости BDP, и определи, как оно делит высоту пирамиды.
- Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой BM и её проекцией на плоскость BDP.
Решение
а) Пусть отрезок PH — высота пирамиды PABCD, отрезок MN — средняя линия треугольника APH (см. рис.).
Поскольку PABCD — правильная пирамида, точка H — центр квадрата ABCD, значит, AH BD и AH PH, откуда AH BDP. Но MN||AH, следовательно, MN BDP. Значит, плоскость BMN перпендикулярна плоскости BDP по признаку перпендикулярности плоскостей. Через точки B и M можно провести только одну плоскость, перпендикулярную BPD, и эта плоскость является плоскостью BMN, делящей высоту пирамиды пополам. Таким образом, утверждение задачи доказано.
б) Прямая BN — проекция прямой BM на плоскость BDP, значит, угол между прямой BM и плоскостью BDP равен углу между прямой BM и прямой BN, то есть острому углу MBN прямоугольного треугольника MBN.
Примем длину ребра данной пирамиды за a, тогда медиана равностороннего треугольника MB = (√(3))/(2) a, AH = (√(2))/(2) a, MN = (√(2))/(4) a и, следовательно, sin ∠ MBN = MN/MB = (√(6))/(6), ∠ MBN = arcsin (√(6))/(6).
Ответ: ∠ MBN = arcsin (√(6))/(6).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: считать, что перпендикулярность плоскостей уже даёт нужный угол.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля