Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD проведена высота PH. N — середина отрезка AH, M — середина ребра AP.
а) Докажите, что угол между прямыми PH и BM равен углу BMN.
б) Длины всех ребер данной пирамиды равны между собой. Найдите угол между прямыми PH и BM.
Подсказки — как подойти к решению
- Найди прямую, параллельную высоте PH и связанную с точкой M, — тогда равенство углов станет очевидным.
- Дальше вычисли угол в треугольнике BMN, зная все его стороны.
Решение
а) Пусть отрезок MN — средняя линия треугольника APH, параллельная его стороне PH (см. рис.).
Поскольку PABCD — правильная пирамида, точка H — центр квадрата ABCD. PH (ABC) и MN||PH, поэтому MN (ABC), а значит, MN BN, Прямые MN и PH параллельны, следовательно, угол между прямыми PH и BM равен углу между прямыми MN и BM, то есть острому углу BMN прямоугольного треугольника BMN.
б) Примем длину ребра данной пирамиды за a, тогда MB = (√(3))/(2) a, AH = PH = (√(2))/(2) a, MN = 1/2 PH = (√(2))/(4) a и, следовательно, cos ∠ BMN = MN/MB = (√(6))/(6), ∠ BMN = arccos (√(6))/(6).
Ответ: ∠ BMN = arccos (√(6))/(6).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: принять равенство углов без доказательства параллельности прямых.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля