Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.
а) Докажите, что BD₁ AC.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой BD1.
Подсказки — как подойти к решению
- Перпендикулярность прямой и прямой доказывай через перпендикулярность одной из них к плоскости, содержащей вторую.
- Расстояние от точки до прямой найди как высоту прямоугольного треугольника.
Решение
а) Проекция BD₁ на плоскость ABCD — это прямая BD. BD AC (диагонали квадрата), поэтому, по теореме о трех перпендикулярах, BD₁ AC.
б) Проведем отрезок CD1 и опустим перпендикуляр CH на BD1.
Искомое расстояние равно высоте CH прямоугольного треугольника BCD1 с прямым углом C:
CH = (2S_BCD₁)/(BD₁) = (CD₁ · BC)/(BD₁) = (√(2))/(√(3)) = (√(6))/(3).
Ответ: (√(6))/(3).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: искать расстояние до прямой как расстояние до плоскости.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля