Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Длина ребра куба равна 1.
а) Докажите, что расстояние от середины отрезка BC1 до плоскости AB1D1 = расстоянию середины отрезка BC1 до прямой, проходящей через середину отрезка AD₁ и вершину B₁.
б) Найдите это расстояние.
Подсказки — как подойти к решению
- Сравни расстояния через симметрию куба или координатным методом.
- Координатный способ: расстояние от точки до плоскости — по формуле, расстояние до прямой — через площадь треугольника.
Решение
а) Пусть M — середина AD₁,N — середина BC₁,BC₁||AD₁,B₁C BC₁, значит, B₁N AD₁. Кроме того, MN AD₁, следовательно, плоскость MB₁N AD₁. Опустим перпендикуляр NH из точки N на прямую MB₁, кроме этого, NH AD₁ (поскольку лежит в плоскости MB₁N), следовательно, NH AB₁D₁ и является искомым расстоянием.
б) Искомый отрезок NH является высотой прямоугольного треугольника MNB₁ с прямым углом N.
Поэтому
NH = (NB₁ · NM)/(MB₁) = к/орень из: (2) 2 · 1 √((к/орень из: (2)) 2)² + 1² = 1/(√(2)) √(3/2) = 1/(√(3)).
Ответ: (√(3))/(3).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: неверно выбрать точку на прямой при вычислении расстояния.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля