Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Ребро основания пирамиды равно √(6), высота — √(33).
а) Докажите, что сечение пирамиды, проходящее через середину ребра AD и точки M и T — середины ребер CS и ВС соответственно, является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от середины ребра AD до прямой MT.
Подсказки — как подойти к решению
- Докажи, что сечение — трапеция: покажи параллельность двух её сторон, а равенство боковых сторон следует из симметрии пирамиды.
- Расстояние от середины ребра до прямой найди координатным методом или как высоту треугольника.
Решение
а) Пусть O — центр основания, а N — середина ребра SD, P — середина ребра AD. Тогда MN||CD||TP, поэтому точки P,N,M,T лежат в одной плоскости и являются вершинами трапеции.
По теореме о средней линии треугольника NP = 1/2 AS = 1/2 BS = MT, так что трапеция равнобедренная.
б) Так как AO = (AB)/(√(2)) = √(3),AS = √(OA² + OS²) = √(3 + 33) = 6,NP = MT = 3.
Основания трапеции равны PT = √(6), MN = (√(6))/(2). В треугольнике PMT проведем высоты MG и PH. Тогда
GT = (PT − MN)/(2) = (√(6))/(4), MG = √(MT² − GT²) = √(9 − 3/8) = √(69/8).
Заметим, что MG · PT = 2 · S_PMT = PH · MT, поэтому PH = (MG · PT)/(MT) = 1/2 √(23).
Ответ: 1/2 √(23).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не доказать равнобедренность трапеции — тогда пункт а) считается невыполненным.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля