Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Боковое ребро пирамиды равно √(43), высота равна √(31).
а) Докажите, что сечение пирамиды, проходящее через середины ребер BD, AC и AD, является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой MT, где точки M и T — середины ребер AC и AD соответственно.
Подсказки — как подойти к решению
- Сечение проходит через середины трёх рёбер: покажи параллельность противоположных сторон и наличие прямого угла.
- Расстояние между точкой и прямой удобно искать как высоту прямоугольного треугольника.
Решение
а) Пусть P — середина ребра BD,Q — середина ребра BC. По теореме о средней линии треугольника MT||CD||QP, следовательно, точки M,T,P,Q лежат в одной плоскости. MT = 1/2 CD = QP, следовательно, MTPQ — параллелограмм. Кроме того, PT||AB, а по теореме о трёх перпендикулярах AB CD (поскольку AB CO), поэтому этот параллелограмм — прямоугольник.
б) По доказанному в пункте а), искомое расстояние есть длина отрезка PT. По теореме Пифагора
AO = √(AD² − DO²) = 2 √(3).
Тогда AB = √(3) · AO = 6, откуда PT = 1/2 AB = 3.
Ответ: 3.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: доказать только параллельность, не показав, что угол прямой.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля