Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Сторона основания пирамиды равна √(6), высота равна √(30).
а) Докажите, что сечение, проходящее через середину бокового ребра BD и точки М и Т (середины ребер АС и AВ соответственно), является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой МТ.
Подсказки — как подойти к решению
- Покажи, что в сечении получается прямоугольник: противоположные стороны параллельны и равны, а один из углов прямой.
- Дальше найди расстояние от точки до прямой через прямоугольный треугольник с известными рёбрами.
Решение
а) Пусть Q — середина ребра CD,P — середина ребра BD. По теореме о средней линии треугольника TP||AD||MQ, следовательно, точки M, T,P,Q лежат в одной плоскости.
TP = 1/2 AD = MQ, следовательно, точки M,T,P,Q являются вершинами параллелограмма.
Кроме того, PQ||BC, а по теореме о трёх перпендикулярах, поскольку AO BC, получим AD BC, поэтому этот параллелограмм — прямоугольник.
б) Пусть точка O является центром правильного треугольника, а следовательно, центром описанной и вписанной окружностей. Отрезок AO является радиусом описанной окружности около треугольника ABC, он в √ трёх раз меньше его стороны. По пункту а), искомое расстояние есть длина отрезка PT. Отрезок AO = (AB)/(√(3)) = √(2).
По теореме Пифагора
AD = √(AO² + DO²) = 4 √(2), PT = 1/2 AD = 2 √(2).
Ответ: 2 √(2).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: перепутать порядок вершин сечения и получить неверную фигуру.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля