Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 4.
а) Докажите, что плоскости CD₁E₁ и AEE₁ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки С до прямой D1E1.
Подсказки — как подойти к решению
- Перпендикулярность плоскостей доказывается через прямую, лежащую в одной плоскости и перпендикулярную другой.
- Расстояние от точки до прямой найди координатным методом.
Решение
а) ABCDEF правильный шестиугольник, поэтому прямые FC и DE параллельны, параллельны также прямые D₁E₁ и DE, следовательно, прямые D₁E₁ и FC параллельны, то есть лежат в одной плоскости.
Плоскость AEE₁ содержит прямую AE, перпендикулярную прямой FC, поэтому, по признаку перпендикулярности плоскостей, AA₁E CD₁E₁.
б) Расстояние от точки C до прямой D₁E₁, равно расстоянию между прямыми D₁E₁ и FC.
В трапеции FE₁D₁C:
D₁E₁ = 3, FC = 6, FE₁ = CD₁ = 5, CH = (FC − E₁)/(D₁) 2 = (6 − 3)/(2) = 3/2,
тогда
D₁H = √(25 − 9/4) = (√(100 − 9))/(2) = (√(91))/(2).
Ответ: (√(91))/(2).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: неверно определить, какая именно прямая перпендикулярна плоскости.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля