Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1.
а) Докажите, что расстояние между прямыми AA1 и BC1 = расстоянию между прямой AA₁ и плоскостью BCC₁.
б) Найдите это расстояние.
Подсказки — как подойти к решению
- Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки прямой до этой плоскости.
- Докажи равенство расстояний и найди его как высоту подходящего треугольника или по координатам.
Решение
а) Прямая BC₁ пересекается с прямой BB₁, параллельной прямой AA₁, и лежит в плоскости BCC₁, параллельной AA₁, поэтому расстояние между прямыми AA₁ и BC₁ = расстоянию от прямой AA₁ до плоскости BCC₁.
б) Пусть AK — высота треугольника ABC. AK перпендикулярна грани BCC₁B₁, поскольку перпендикулярна двум пересекающимся прямым (BC и BB₁), лежащим в плоскости BCC₁. Таким образом, искомое расстояние — длина отрезка AK. Из равностороннего треугольника ABC находим:
AK = (√(3))/(2) AB = (√(3))/(2) · 1 = (√(3))/(2).
Ответ: (√(3))/(2).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: вычислять расстояние между скрещивающимися прямыми вместо расстояния до плоскости.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля