Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, AB = AC = 5, BC = 8. Высота призмы равна 3. Точка M — середина ребра B1C1.
а) Докажите, что плоскость BA1M перпендикулярна плоскости BCC1.
б) Найдите угол между прямой A1B и плоскостью BCC1.
Подсказки — как подойти к решению
- Перпендикулярность плоскостей доказывается через прямую одной плоскости, перпендикулярную другой плоскости.
- Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость.
Решение
а) Заметим, что A₁M — высота треугольника A₁B₁C₁. Призма ABCA₁B₁C₁ прямая, поэтому A₁M перпендикулярна плоскости BCC₁. Поэтому BA₁M BCC₁ по признаку перпендикулярности плоскостей.
б) Прямая BM — проекция прямой A₁B на плоскость BCC₁. Значит, искомый угол равен углу A₁BM.
Так как B₁M = 4, BB₁ = 3, имеем: BM = 5, A₁M = √(A₁) B₁² − B₁M² = 3.
Отсюда tg ∠ A₁BM = A₁M/BM = 3/5. Следовательно, ∠ A₁BM = arctg 3/5.
Ответ: arctg 3/5.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: искать угол между прямой и плоскостью по формуле для угла между прямыми.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля