Задание №14 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 высота равна 1, а сторона основания равна √(2). Точка M — середина ребра AA1.
а) Докажите, что пирамиды MDD₁C₁ и ACDD₁ равновелики.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости DA1C1.
Подсказки — как подойти к решению
- Равенство объёмов пирамид с общим основанием следует из равенства высот — докажи параллельность прямых, на которых лежат вершины.
- Расстояние от точки до плоскости найди координатным методом: составь уравнение плоскости и примени формулу.
Решение
а) V_MDD₁C₁ = 1/3 C₁D₁ · S_MDD₁ = 1/3 C₁D₁ · 1/2 S_ADD₁A₁ = 1/6 V_ABCDA₁B₁C₁D₁.
Аналогично, V_ACDD₁ = 1/3 AD · S_CDD₁ = 1/3 AD · 1/2 S_CDD₁C₁ = 1/6 V_ABCDA₁B₁C₁D₁.
б) Рассмотрим треугольную пирамиду MDA₁C₁. Ее объем можно выразить двумя способами:
1) V = 1/3 S_MA₁D · C₁D₁ = 1/3 · 1/2 · AD · A₁M · C₁D₁ =
= 1/3 · 1/2 · √(2) · 1/2 · √(2) = 1/6.
2) V = 1/3 S_DA₁C₁ · h, где h — искомое расстояние.
Приравняем выражения для объемов и выразим его:
h = 1/(2S_DA₁C₁).
Найдем площадь равнобедренного треугольника DA₁C₁. Проведем в нем высоту DH.
DA₁ = √(D₁ A₁² + DD₁²) = √(2 + 1) = √(3).
A₁C₁ = A₁D₁ · √ 2 = 2,A₁H = A₁C₁/2 = 1.
DH = √(DA₁² − A₁H²) = √(3 − 1) = √(2).
S_DA₁C₁ = 1/2 A₁C₁ · DH = 1/2 · 2 · √(2) = √(2).
Следовательно, искомое расстояние h = 1/(2 √(2)).
Ответ: 1/(2 √(2)).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: сравнивать объёмы пирамид с разными высотами, не доказав их равенство.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №14 по профильной математике · Разбор темы №14 с нуля