Задание №15 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Решите неравенство логарифм по основанию (3x − 3) 3 + логарифм по основанию ((x − 1)²) 27 ≥ 2.
Подсказки — как подойти к решению
- Начни с области определения: основания логарифмов положительны и не равны единице, аргументы положительны.
- Приведи логарифмы к одному основанию и сделай замену — получится рациональное неравенство, которое решается методом интервалов.
Решение
Перейдем к основанию 3 и упростим левую часть неравенства:
логарифм по основанию (3x − 3) 3 + логарифм по основанию ((x − 1)²) 27 ≥ 2 ⇔ 1/(log₃ (3x − 3)) + (3)/(log₃ (x − 1)²) ≥ 2 ⇔ ⇔ 1/(log₃ (3 (x − 1))) + (3)/(log₃ (x − 1)²) ≥ 2 ⇔ 1/(1 + log₃ (x − 1)) + (3)/(2 log₃ (x − 1)) ≥ 2.
Обозначим t = log₃ (x − 1), тогда 1/(1 + t) + 3/2t ≥ 2. Решим неравенство методом интервалов:
1/(1 + t) + 3/2t ≥ 2 ⇔ (5t + 3)/(2t² + 2t) ≥ 2 ⇔ (4t² − t − 3)/(2t (1 + t)) ≤ 0 ⇔ − 1 < t ≤ − 3/4, 0 < t ≤ 1.
Тогда
− 1 меньше log₃ (x − 1) ≤ − 3/4, 0 меньше log₃ (x − 1) ≤ 1. ⇔ 4/3 < x ≤ 1 + 1/(⁴√(3³)), 2 < x ≤ 4.
Ответ: (4/3;1 + 1/(⁴√(27)) ] ∪ (2;4 ].
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не учесть, что при основании меньше единицы знак неравенства меняется на противоположный.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №15 по профильной математике · Разбор темы №15 с нуля