Задание №15 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Решите неравенство
log₂ ((7 ^ (−x²) − 3) · (7 ^ (−x² + 16) − 1)) + log₂ (7 ^ (−x²) − 3)/(7 ^ (−x² + 16) − 1) больше log₂ (7 ^ (7 − x²) − 2)². log₂ ((7 ^ (−x²) − 3) · (7 ^ (−x² + 16) − 1)) +
+ log₂ (7 ^ (−x²) − 3)/(7 ^ (−x² + 16) − 1) больше log₂ (7 ^ (7 − x²) − 2)².
Подсказки — как подойти к решению
- Сумма логарифмов — логарифм произведения, разность — логарифм частного: упрости выражение.
- После упрощения удобна замена, связанная со степенью семёрки, и переход к рациональному неравенству.
Решение
Пусть t = 7 ^ (−x²),0 < t ≤ 1, тогда неравенство принимает вид:
log₂ ((t − 3) (7 ^ (16) t − 1)) + log₂ (t − 3)/(7 ^ (16) t − 1) больше log₂ (7 ^ 7 t − 2)².
Так как t − 3 < 0, имеем 7 ^ (16) t − 1 < 0, а значит, 0 < t < 1/(7 ^ (16)) < (2)/(7 ^ 7).
Получаем:
система: log₂ (t − 3)² больше log₂ (7 ^ 7 t − 2)², 0 < t < 1/(7 ^ (16)). ⇔ система: |t − 3| больше |7 ^ 7 t − 2|, 0 < t < 1/(7 ^ (16)). ⇔ система: 3 − t > 2 − 7 ^ 7 t, 0 < t < 1/(7 ^ (16)). ⇔ 0 < t < 1/(7 ^ (16)). система: log₂ (t − 3)² больше log₂ (7 ^ 7 t − 2)², 0 < t < 1/(7 ^ (16)). ⇔ система: |t − 3| больше |7 ^ 7 t − 2|, 0 < t < 1/(7 ^ (16)). ⇔
⇔ система: 3 − t > 2 − 7 ^ 7 t, 0 < t < 1/(7 ^ (16)). ⇔ 0 < t < 1/(7 ^ (16)). система: log₂ (t − 3)² больше log₂ (7 ^ 7 t − 2)², 0 < t < 1/(7 ^ (16)). ⇔
⇔ система: |t − 3| больше |7 ^ 7 t − 2|, 0 < t < 1/(7 ^ (16)). ⇔
⇔ система: 3 − t > 2 − 7 ^ 7 t, 0 < t < 1/(7 ^ (16)). ⇔ 0 < t < 1/(7 ^ (16)).
Поясним: неравенство 3 − t > 2 − 7 ^ 7 t эквивалентно неравенству (7 ^ 7 − 1) t > − 1 и выполнено для всех значений переменной. Итак,
7 ^ (−x)² < 7 ^ (−16) ⇔ x² > 16 ⇔ x > 4, x < − 4.
Ответ: (−∞; − 4) ∪ (4; +∞).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: забыть область определения — аргументы логарифмов должны быть положительны.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №15 по профильной математике · Разбор темы №15 с нуля