Задание №15 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Решите неравенство (логарифм по основанию (2 ^ ((x + 1)²) − 1) (логарифм по основанию (2x² + 2x + 3) (x² − 2x)))/(логарифм по основанию (2 ^ ((x + 1)²) − 1) (x² + 6x + 10)) ≥ 0.
Подсказки — как подойти к решению
- Это неравенство с дробью из логарифмов: сначала запиши все условия на основания и аргументы.
- Дальше определи знак числителя и знаменателя и реши неравенство методом интервалов.
Решение
Заметим, что
1. 2 ^ ((x + 1)²) − 1 0 и обращается в ноль только при x = − 1, то есть и 2 ^ ((x + 1)²) − 1 > 0 при x ≠ − 1.
2. 2 ^ ((x + 1)²) − 1 = 1 при x = 0 и x = − 2.
3. 2x² + 2x + 3 = (x + 1)² + x² + 2 > 1.
4. x² + 6x + 10 = (x + 3)² + 1 ≥ 1 и (x + 3)² + 1 = 1 при x = − 3, то есть (x + 3)² + 1 > 1 при x ≠ − 3.
Следовательно, при x ≠ − 3,x ≠ − 2,x ≠ − 1,x ≠ 0 имеем:
(логарифм по основанию (2 ^ ((x + 1)²) − 1) (логарифм по основанию (2x² + 2x + 3) (x² − 2x)))/(логарифм по основанию (2 ^ ((x + 1)²) − 1) (x² + 6x + 10)) ≥ 0 ⇔ логарифм по основанию (x² + 6x + 10) логарифм по основанию (2x² + 2x + 3) (x² − 2x) ≥ 0 ⇔ (логарифм по основанию (2 ^ ((x + 1)²) − 1) (логарифм по основанию (2x² + 2x + 3) (x² − 2x)))/(логарифм по основанию (2 ^ ((x + 1)²) − 1) (x² + 6x + 10)) ≥ 0 ⇔
⇔ логарифм по основанию (x² + 6x + 10) логарифм по основанию (2x² + 2x + 3) (x² − 2x) ≥ 0 ⇔
⇔ логарифм по основанию (2x² + 2x + 3) (x² − 2x) ≥ 1 ⇔ x² − 2x ≥ 2x² + 2x + 3 ⇔ x² + 4x + 3 ≤ 0 ⇔ − 3 ≤ x ≤ − 1.
Откуда с учетом выколотых точек получаем − 3 < x < − 2 или − 2 < x < − 1.
Ответ: (−3; − 2) ∪ (−2; − 1).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: решать неравенство без учёта области определения логарифмов.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №15 по профильной математике · Разбор темы №15 с нуля