Задание №15 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Решите неравенство логарифм по основанию x 3 + 2 логарифм по основанию (3x) 3 − 6 логарифм по основанию (9x) 3 ≤ 0.
Подсказки — как подойти к решению
- Перейди во всех логарифмах к основанию три по формуле перехода к новому основанию.
- Сделай замену, связанную с логарифмом икса, — неравенство станет рациональным.
Решение
Запишем неравенство в виде:
1/(log₃ x) + (2)/(log₃ 3x) − (6)/(log₃ 9x) ≤ 0 ⇔ 1/(log₃ x) + (2)/(1 + log₃ x) − (6)/(2 + log₃ x) ≤ 0.
Сделаем замену y = log₃ x и приведем левую часть к общему знаменателю:
1/y + (2)/(1 + y) − (6)/(2 + y) ≤ 0 ⇔ (y² + 3y + 2 + 2y² + 4y − 6y² − 6y)/(y (y + 1) (y + 2)) ≤ 0 ⇔
⇔ (−3y² + y + 2)/(y (y + 1) (y + 2)) ≤ 0 ⇔ ((y − 1) (3y + 2))/(y (y + 1) (y + 2)) ≥ 0. 1/y + (2)/(1 + y) − (6)/(2 + y) ≤ 0 ⇔
⇔ (y² + 3y + 2 + 2y² + 4y − 6y² − 6y)/(y (y + 1) (y + 2)) ≤ 0 ⇔
⇔ (−3y² + y + 2)/(y (y + 1) (y + 2)) ≤ 0 ⇔ ((y − 1) (3y + 2))/(y (y + 1) (y + 2)) ≥ 0.
Решением полученного неравенства является множество (−2; − 1) ∪ [ − 2/3;0) ∪ [ 1; +∞). Возвращаясь к переменной x, находим множество решений исходного неравенства: (1/9; 1/3) ∪ [ 3 ^ (−2/3);1) ∪ [ 3; +∞).
Ответ: (1/9; 1/3) ∪ [ 3 ^ (−2/3);1) ∪ [ 3; +∞).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не учесть, что икс положителен и не равен единице.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №15 по профильной математике · Разбор темы №15 с нуля