Задание №15 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Решите неравенство (10 ^ x)/(2 (log₂² (x + 1)²) log₃ (x + 2)) ≤ ((15 · 3 ^ x) ^ x)/(9 (log₂² (x + 1)²) log₃ (x + 2)).
Подсказки — как подойти к решению
- Перенеси всё в одну часть и приведи к общему знаменателю.
- После упрощения приведи показательные степени к одному основанию и реши неравенство.
Решение
Разделим обе части неравенства на 5 ^ x:
(2 ^ (x − 1))/((log₂² (x + 1)²) log₃ (x + 2)) ≤ (3 ^ (x² + x − 2))/((log₂² (x + 1)²) log₃ (x + 2)) ⇔
⇔ (3 ^ ((x − 1) (x + 2)) − 2 ^ ((x − 1)))/((log₂² (x + 1)²) log₃ (x + 2)) ≥ 0 ⇔ (3 ^ ((x − 1) (x + 2)) − 3 ^ ((x − 1) log₃ 2))/((log₂² (x + 1)²) log₃ (x + 2)) ≥ 0.
Решение будем искать при условиях
; x + 1 ≠ 0, (x + 1)² ≠ 1, x + 2 > 0, x + 2 ≠ 1. ⇔ система: x ≠ − 1, x ≠ 0, x > − 2.
При этих условиях получаем неравенство:
((x − 1) (x + 2) − (x − 1) log₃ 2)/((x + 2) − 1) ≥ 0 ⇔ ((x − 1) (x + 2 − log₃ 2))/(x + 1) ≥ 0.
Таким образом, множество решений исходного неравенства: [ log₃ 2 − 2; − 1) ∪ [ 1; +∞).
Ответ: [ log₃ 2 − 2; − 1) ∪ [ 1; +∞).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: сократить на общий множитель, который может обращаться в ноль.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №15 по профильной математике · Разбор темы №15 с нуля