Задание №15 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Решите неравенство: (14 ^ (1 + lg x))/(7lg² (100x) lg (0,1x)) ≥ ((4 · 2 ^ (lg (10x))) ^ (1 + lg x))/(4lg² (100x) lg (0,1x)).
Подсказки — как подойти к решению
- Приведи степени к одному основанию и упрости правую часть.
- Дальше реши неравенство относительно десятичного логарифма икса.
Решение
Заметим, что
(4 · 2 ^ (lg (10x))) ^ (1 + lg x) = (4 · 2 ^ (1 + lg x)) ^ (1 + lg x) = 4 ^ (1 + lg x) · 2 ^ ((1 + lg x)²) =
= 2 ^ (2 (1 + lg x)) · 2 ^ ((1 + lg x)²) = 2 ^ (1 + lg x) · 2 ^ (1 + lg x) · 2 ^ ((1 + lg x)²) = (4 · 2 ^ (lg (10x))) ^ (1 + lg x) = (4 · 2 ^ (1 + lg x)) ^ (1 + lg x) =
= 4 ^ (1 + lg x) · 2 ^ ((1 + lg x)²) = 2 ^ (2 (1 + lg x)) · 2 ^ ((1 + lg x)²) =
= 2 ^ (1 + lg x) · 2 ^ (1 + lg x) · 2 ^ ((1 + lg x)²) =
= 2 ^ (1 + lg x) · 2 ^ (1 + lg x) · 2 ^ (lg² x + 2 lg x + 1) = 2 ^ (1 + lg x) · 2 ^ (1 + lg x + lg² x + 2 lg x + 1) = 2 ^ (1 + lg x) · 2 ^ (lg² x + 3 lg x + 2). = 2 ^ (1 + lg x) · 2 ^ (1 + lg x) · 2 ^ (lg² x + 2 lg x + 1) =
= 2 ^ (1 + lg x) · 2 ^ (1 + lg x + lg² x + 2 lg x + 1) = 2 ^ (1 + lg x) · 2 ^ (lg² x + 3 lg x + 2).
Преобразуем обе части неравенства:
(2 ^ (1 + lg x) · 7 ^ (1 + lg x))/(7 (lg x + 2)² (lg x − 1)) ≥ (2 ^ (2 (1 + lg x)) · 2 ^ ((1 + lg x)²))/(4 (lg x + 2)² (lg x − 1)) ⇔ (2 ^ (1 + lg x) · 7 ^ (1 + lg x))/(7 (lg x + 2)² (lg x − 1)) ≥ (2 ^ ((1 + lg x)) · 2 ^ (lg x² + 3 lg x + 2))/(4 (lg x + 2)² (lg x − 1)). (2 ^ (1 + lg x) · 7 ^ (1 + lg x))/(7 (lg x + 2)² (lg x − 1)) ≥ (2 ^ (2 (1 + lg x)) · 2 ^ ((1 + lg x)²))/(4 (lg x + 2)² (lg x − 1)) ⇔
⇔ (2 ^ (1 + lg x) · 7 ^ (1 + lg x))/(7 (lg x + 2)² (lg x − 1)) ≥ (2 ^ ((1 + lg x)) · 2 ^ (lg x² + 3 lg x + 2))/(4 (lg x + 2)² (lg x − 1)).
Разделив обе части на 2 ^ (1 + lg x) и сократив левую часть на 7, а правую — на 4, получим:
(7 ^ (lg x))/((lg x + 2)² (lg x − 1)) ≥ (2 ^ (lg² x + 3 lg x))/((lg x + 2)² (lg x − 1)) ⇔ (7 ^ (lg x) − 2 ^ (lg² x + 3 lg x))/((lg x + 2)² (lg x − 1)) ≥ 0 ⇔ (2 ^ (log₂ 7 · lg x) − 2 ^ (lg² x + 3 lg x))/((lg x + 2)² (lg x − 1)) ≥ 0. (7 ^ (lg x))/((lg x + 2)² (lg x − 1)) ≥ (2 ^ (lg² x + 3 lg x))/((lg x + 2)² (lg x − 1)) ⇔
⇔ (7 ^ (lg x) − 2 ^ (lg² x + 3 lg x))/((lg x + 2)² (lg x − 1)) ≥ 0 ⇔ (2 ^ (log₂ 7 · lg x) − 2 ^ (lg² x + 3 lg x))/((lg x + 2)² (lg x − 1)) ≥ 0. (7 ^ (lg x))/((lg x + 2)² (lg x − 1)) ≥ (2 ^ (lg² x + 3 lg x))/((lg x + 2)² (lg x − 1)) ⇔
⇔ (7 ^ (lg x) − 2 ^ (lg² x + 3 lg x))/((lg x + 2)² (lg x − 1)) ≥ 0 ⇔
⇔ (2 ^ (log₂ 7 · lg x) − 2 ^ (lg² x + 3 lg x))/((lg x + 2)² (lg x − 1)) ≥ 0.
Сделаем замену: y = lg x, тогда получим
(2 ^ (y log₂ 7) − 2 ^ (y² + 3y))/((y + 2)² (y − 1)) ≥ 0,
откуда методом рационализации получим
(y · log₂ 7 − (y² + 3y))/((y + 2)² (y − 1)) ≥ 0 ⇔ (y (y − (log₂ 7 − 3)))/((y + 2)² (y − 1)) ≤ 0.
Решим полученное рациональное неравенство:
y < − 2, − 2 < y ≤ log₂ 7 − 3, 0 ≤ y < 1.
Тогда
0 < x < 1/100, 1/100 < x ≤ 10 ^ (log₂ 7 − 3), 1 ≤ x < 10.
Ответ: (0; 1/100) ∪ (1/100;10 ^ (log₂ 7 − 3) ] ∪ [ 1;10).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: потерять условие, что логарифм не равен нулю, при сокращении.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №15 по профильной математике · Разбор темы №15 с нуля