Задание №15 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Решите неравенство (log₄ (x ^ 4 − 4x³ + 4x²) + логарифм по основанию (0,25) (6x² − 12x − 9))/(x² − 2x − 8) ≥ 0.
Подсказки — как подойти к решению
- Приведи логарифмы к одному основанию и упрости числитель.
- Дальше реши неравенство методом интервалов, обязательно учтя область определения.
Решение
Преобразуем неравенство
(log₄ (x ^ 4 − 4x³ + 4x²) + логарифм по основанию (0,25) (6x² − 12x − 9))/(x² − 2x − 8) ≥ 0 ⇔ (log₄ (x² − 2x)² − log₄ (6 (x² − 2x) − 9))/((x² − 2x) − 8) ≥ 0. (log₄ (x ^ 4 − 4x³ + 4x²) + логарифм по основанию (0,25) (6x² − 12x − 9))/(x² − 2x − 8) ≥ 0 ⇔
⇔ (log₄ (x² − 2x)² − log₄ (6 (x² − 2x) − 9))/((x² − 2x) − 8) ≥ 0.
Заметим, что на ОДЗ знак разности логарифм по основанию (a) b − логарифм по основанию (a) c совпадает со знаком дроби (b − c)/(a − 1). Поэтому, сделав замену переменной t = x² − 2x, получаем:
(log₄ t² − log₄ (6t − 9))/(t − 8) ≥ 0 ⇔ система: (t² − 6t + 9)/(t − 8) ≥ 0,t² > 0,6t − 9 > 0. ⇔ система: ((t − 3)²)/(t − 8) ≥ 0, t > 1,5. ⇔ t = 3, t > 8. ⇔
⇔ система: ((t − 3)²)/(t − 8) ≥ 0, t > 1,5. ⇔ t = 3, t > 8.
Вернёмся к исходной переменной:
x² − 2x = 3 ⇔ x² − 2x − 3 = 0 ⇔ x = − 1, x = 3.
x² − 2x > 8 ⇔ x² − 2x − 8 > 0 ⇔ x < − 2, x > 4.
Ответ: (−∞, − 2) ∪ − 1;3 ∪ (4, +∞).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 2 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не найти все нули числителя — часть из них появляется из уравнения с логарифмом.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №15 по профильной математике · Разбор темы №15 с нуля