Задание №15 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии

Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.

Условие

Решите неравенство 7 ^ (−|x − 3|) · log₂ (6x − x² − 7) ≥ 1.

Единицу справа представь как степень семёрки с нулевым показателем.
Показательная функция монотонна, поэтому сравни показатели; множитель-логарифм требует условия положительности аргумента.

Покажем, что наибольшее значение левой части неравенства равно 1. Действительно,

~0 < 7 ^ (−|x − 3|) ≤ 7 ^ 0 = 1.

В силу тождества 6x − x² − 7 = − (x² − 6x + 9) + 2 = 2 − (x − 3)² имеем:

log₂ (6x − x² − 7) = log₂ (2 − (x − 3)²) ≤ log₂ 2 = 1.

Поскольку левая часть не > 1, а правая равна 1, неравенство выполнено тогда и только тогда, когда оба множителя равны 1, откуда

система: log₂ (2 − (x − 3)²) = 1, 7 ^ (−|x − 3|) = 1 ⇔ система: 2 − (x − 3)² = 2, |x − 3| = 0 ⇔ x = 3.

Ответ: 3.

Критерий (до 2 баллов)	Балл
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Частая ошибка: делить на логарифм, не рассмотрев случай, когда он отрицателен, — знак неравенства меняется.

В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №15 по профильной математике · Разбор темы №15 с нуля